求 e^x/x 對 x 的不定積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先試遍常用手法，看著它們一一失敗。 代換法需要內層函數的導數以因子形式出現，但 $u=x$ 與 $u=e^x$ 都變不出那個 $\tfrac1x$。分部積分則只是把難處搬來搬去：取 $u=e^x$、$dv=\tfrac{dx}{x}$ 會得到 $e^x\ln x-\int e^x\ln x\,dx$，反而更糟。這是一個訊號，不是運氣不好。

2. 2

   把真正的結論說清楚。 依劉維爾關於初等積分的定理，$\dfrac{e^x}{x}$ 沒有初等原函數——多項式、指數、對數、三角函數與根式的任何有限組合，微分後都得不到它。它的原函數只能另外命名：

   $\int\frac{e^x}{x}\,dx=\operatorname{Ei}(x)+C$

3. 3

   定義指數積分。 一個標準定義是

   $\operatorname{Ei}(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{e^t}{t}\,dt$

   取柯西主值，因為被積函數在 $t=0$ 處發散。由微積分基本定理，把這個定義微分就回到被積函數：

   $\frac{d}{dx}\operatorname{Ei}(x)=\frac{e^x}{x}$

   這正是原函數所必須具備的性質。

4. 4

   若想要一個公式，級數是現成的。 把 $e^x=\sum_{n\ge0}\tfrac{x^n}{n!}$ 展開再除以 $x$：

   $\frac{e^x}{x}=\frac1x+\sum_{n\ge1}\frac{x^{n-1}}{n!}$

   逐項積分得到

   $\int\frac{e^x}{x}\,dx=\ln|x|+\sum_{n\ge1}\frac{x^{n}}{n\cdot n!}+C$

   當 $x>0$ 時它等於 $\operatorname{Ei}(x)-\gamma$，其中 $\gamma\approx0.5772$ 是尤拉–馬斯刻若尼常數。這也是實務上計算數值的方法。

5. 5

   與那些真的積得出來的積分對照。 $\int e^x\,dx=e^x+C$ 與 $\int\tfrac1x\,dx=\ln|x|+C$ 都是初等的；只有它們的商逃出了初等的範圍。同樣地，$\int e^{-x^2}dx$ 與 $\int\tfrac{\sin x}{x}dx$ 都非初等，而 $\int xe^{x}dx$ 卻沒問題——這裡沒有簡單的判斷竅門，那正是那條定理重要的原因。

6. 6

   用數值檢查那個級數。 在 $x=1$ 處，截斷的級數 $\ln1+\sum_{n=1}^{20}\tfrac{1}{n\cdot n!}=1.31790$，而 $\operatorname{Ei}(1)-\gamma=1.89512-0.57722=1.31790$ ✓ ——兩者一致，確認了逐項積分是對的。