對於式子 a*x + b，求它對 a 的偏導數與對 b 的偏導數。

Step-by-step solution

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   先決定哪些符號要凍結。 偏導數是對其中一個變數微分，同時把其他每一個符號都當成常數。這裡式子含有三個符號 $a$、$b$ 與 $x$，所以「誰是變數」會隨小題而變——而 $x$ 在本題的兩個小題裡都是常數。

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   對 $a$ 微分。 把 $x$ 與 $b$ 當成常數，$ax$ 這一項是 $a$ 的常數倍，而 $b$ 是純粹的常數：

   $\frac{\partial}{\partial a}(ax)=x,\qquad \frac{\partial}{\partial a}(b)=0,$

   $\frac{\partial f}{\partial a}=x.$

   答案是 $x$，不是 $1$，也不是 $ax$：把 $ax$ 對 $a$ 微分，留下來的是 $a$ 的係數，也就是 $x$。

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   對 $b$ 微分。 現在 $a$ 與 $x$ 被凍結，所以整個乘積 $ax$ 是常數：

   $\frac{\partial}{\partial b}(ax)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial b}(b)=1,$

   $\frac{\partial f}{\partial b}=1.$

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   與對 $x$ 的導數做個對照。 為求完整：$\frac{\partial f}{\partial x}=a$——同一個式子，會因為誰被當成變數而給出三個不同的答案。把三者放在一起比較，是最快弄懂「其他的固定不動」到底在做什麼的方法。

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   解讀這個結果。 在用來配適資料的直線模型 $y=ax+b$ 裡，這兩個偏導數正是最小平方法所用的梯度分量：把斜率 $a$ 改變一個小量，預測值就移動 $x$ 倍的那個量；而把截距 $b$ 改變一個量，每一個預測值都跟著移動同樣的量，$1$ 對 $1$。這也是為什麼離原點較遠的資料點會主導斜率的估計。