計算 3 在 x 趨近無窮大時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   先認出這是什麼函數。 極限裡的式子完全沒有出現 $x$，所以它是常數函數 $f(x)=3$。它的圖形是一條高度為 $3$ 的水平線。

2. 2

   套用極限的常數法則。 對任意常數 $c$ 以及任何逼近方式——不論是趨向有限點還是趨向無窮大——

   $\lim_{x\to a}c=c$

   因為輸入怎麼動，函數的輸出都不會變。

3. 3

   下結論。

   $\lim_{x\to\infty}3=3$

4. 4

   拿定義對照一遍。 在無窮遠處極限為 $L$，要求的是對每個 $\varepsilon>0$ 都存在一個 $M$，使得只要 $x>M$ 就有 $|f(x)-L|<\varepsilon$。這裡對每個 $x$ 都有 $|3-3|=0<\varepsilon$，所以任何 $M$ 都行得通——這個條件平凡地成立。

5. 5

   注意常見的混淆。 答案不是 $\infty$：無界成長的是自變數，不是函數值。它也不是沒有定義——常數是所有函數裡表現最乖的一類。可以拿 $\lim_{x\to\infty}\tfrac{3x+1}{x}=3$ 來對照，它同樣等於 $3$，理由卻真的不同：那裡函數是朝著 $3$ 移動，而這裡它從頭到尾就坐在 $3$ 上。