計算 sin(x)/x 在 x 趨近 0 時的極限。

Step-by-step solution

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   檢查形式。 當 $x\to0$ 時 $\sin x\to0$ 且 $x\to0$，所以代入得到 $\tfrac00$——不定型。這個極限沒辦法靠代值求出來，老實說也不能靠羅必達法則求，因為導數 $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ 本身通常就是用這個極限證出來的。

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   架設幾何比較。 對 $0<x<\tfrac{\pi}{2}$，比較單位圓內的三塊面積：面積為 $\tfrac12\sin x$ 的三角形、面積為 $\tfrac12x$ 的扇形，以及面積為 $\tfrac12\tan x$ 的較大三角形。由於每一塊都包含前一塊，

   $\frac12\sin x\le\frac12x\le\frac12\tan x.$

   中間那一項正是弧度制登場的地方：扇形面積是 $\tfrac12r^{2}x$，只有在 $x$ 以弧度計時才成立。

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   整理成夾擠的形式。 各項同除以 $\tfrac12\sin x>0$ 得到 $1\le\frac{x}{\sin x}\le\frac{1}{\cos x}$，再取倒數會把不等號反過來：

   $\cos x\le\frac{\sin x}{x}\le1.$

   $\frac{\sin x}{x}$ 與 $\cos x$ 都是偶函數，所以同樣的界在 $-\tfrac{\pi}{2}<x<0$ 也成立，這個論證一次就涵蓋兩側。

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   套用夾擠定理。 當 $x\to0$ 時 $\cos x\to1$，而常數 $1\to1$，被夾住的量別無選擇：

   $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$

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   用數值確認，並注意弧度這個但書。 以弧度計算：在 $x=0.1$ 時比值是 $0.998334$，在 $x=0.01$ 時是 $0.9999833$，在 $x=0.001$ 時是 $0.99999983$——從下方趨近 $1$，與界 $\cos x\le\frac{\sin x}{x}$ 相符 ✓。如果 $x$ 是用角度度量，極限會變成 $\frac{\pi}{180}\approx0.01745$，這正是微積分要用弧度的原因。