計算 xy 乘上 sin(xy²) 在區域 0 ≤ x ≤ π、0 ≤ y ≤ π 上的二重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   看出藏在被積函數裡的代換。 正弦的引數是 $xy^2$，而外面的因子是 $xy$。由於 $\frac{d}{dy}(xy^2) = 2xy$，外面那個因子恰好是內部函數導數的一半——這正是乾淨的 $y$ 變數代換的招牌特徵。先對 $x$ 積分就不會這麼順利，所以維持題目給的 $dy\,dx$ 次序。

2. 2

   固定 x，在內層積分裡做代換。 令

   $u = xy^2, \qquad du = 2xy\,dy \ \Longrightarrow \ xy\,dy = \tfrac12\,du$

   上下限要跟著變數一起換：$y = 0$ 給出 $u = 0$，$y = \pi$ 給出 $u = x\pi^2$。於是

   $\int_0^{\pi} xy\sin(xy^2)\,dy = \frac{1}{2}\int_0^{x\pi^2} \sin u\,du$

3. 3

   算出內層積分。

   $\frac{1}{2}\bigl[-\cos u\bigr]_0^{x\pi^2} = \frac{1}{2}\left(1 - \cos(x\pi^2)\right)$

   原本在外面的 $x$ 已被代換吸收，這就是為什麼結果裡不會多出一個孤零零的 $x$。

4. 4

   把結果對 x 積分。

   $I = \frac{1}{2}\int_0^{\pi}\left(1 - \cos(x\pi^2)\right) dx = \frac{1}{2}\left(\pi - \left[\frac{\sin(x\pi^2)}{\pi^2}\right]_0^{\pi}\right)$

   $\frac{1}{\pi^2}$ 來自連鎖律：這裡的 $\pi^2$ 是餘弦內部乘在 $x$ 上的常數。

5. 5

   組裝並求值。

   $I = \frac{\pi}{2} - \frac{\sin(\pi^3)}{2\pi^2}$

   代入 $\pi^3 \approx 31.00628$ 與 $\sin(\pi^3) \approx -0.39829$：

   $I \approx 1.570796 + 0.020178 = 1.590974$

   直接做二維數值積分得到 $1.59097384$，兩者相符。