求使函數 f 在 x = 1 連續的 a、b、c 之值，其中 x > 1 時 f(x) = (a x^2 - x - 1)/(x - 1)，f(1) = b，x < 1 時 f(x) = -x + c。

Step-by-step solution

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   先寫清楚「在一點連續」到底要求什麼。 三個量都必須存在而且彼此相等：

   $\lim_{x\to1^-}f(x)=f(1)=\lim_{x\to1^+}f(x)$

   因為三段各帶一個未知數，這剛好給出所需的三條方程式。從限制最強的那一段開始做——也就是右側那一段。

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   先逼使右極限為有限，這一步決定 $a$。 當 $x\to1^+$ 時分母 $x-1\to0$。如果分子沒有同時趨於 $0$，商就會爆到 $\pm\infty$，那麼不論 $b$ 或 $c$ 怎麼取都救不回連續性。所以需要

   $a(1)^2-1-1=0\quad\Longrightarrow\quad a-2=0\quad\Longrightarrow\quad a=2.$

   例如取 $a=3$ 會讓分子 $\to1$、分母 $\to0^+$，結果是 $+\infty$：完全補不回來。

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   約掉公因式再求極限。 取 $a=2$ 後，因為 $x=1$ 是分子的根，分子可以因式分解：

   $2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)$

   $\lim_{x\to1^+}\frac{(2x+1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1^+}(2x+1)=3$

   這裡約分是合法的，因為求極限只涉及 $x\neq1$ 的情形，此時 $x-1\neq0$。

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   讓該點的函數值吻合，這一步決定 $b$。 連續性要求 $f(1)$ 等於剛才的極限：

   $b=3.$

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   讓左極限吻合，這一步決定 $c$。 左側那一段是多項式，所以它的極限就是它的值：

   $\lim_{x\to1^-}(-x+c)=-1+c$

   $-1+c=3\quad\Longrightarrow\quad c=4.$

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   驗證三個量都相等。 取 $a=2$、$b=3$、$c=4$：左極限是 $-1+4=3$、函數值是 $f(1)=3$、右極限是 $2(1)+1=3$。三者相等，所以 $f$ 在 $x=1$ 連續。數值上 $f(0.999)=3.001$、$f(1.001)=3.002$，如預期從兩側逼近 $3$。