計算 e^(−(x² + y²)) 在區域 x² + y² ≤ 1 上的二重積分。

Step-by-step solution

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   看清楚為什麼直角座標行不通。 用 $x$ 與 $y$ 的話，內層積分會是 $\int e^{-x^2}dx$，而這個反導函數根本沒有初等形式。被積函數與區域都只依賴到原點的距離，所以極座標在這裡不只是方便 —— 它是讓問題可解的關鍵。

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   把被積函數、區域與面積元素一起轉換。 取 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$：

   $x^2+y^2=r^2,\qquad dA=r\,dr\,d\theta,\qquad x^2+y^2\le 1\iff 0\le r\le 1$

   所以

   $\iint_{x^2+y^2\le 1}e^{-(x^2+y^2)}dA=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta$

   由雅可比行列式帶來的那個多餘的 $r$ 就是整個訣竅：它恰好是做 $u$ 變數代換時所需要的因子。

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   用 $u=r^2$ 做徑向積分。 令 $u=r^2$，則 $du=2r\,dr$、$r\,dr=\tfrac12\,du$，而 $u$ 從 $0$ 走到 $1$：

   $\int_0^1 e^{-r^2}r\,dr=\frac12\int_0^1 e^{-u}du=\frac12\left[-e^{-u}\right]_0^1=\frac12\left(1-e^{-1}\right)$

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   對角度積分。 徑向的結果是常數，而整個圓周貢獻 $2\pi$：

   $\int_0^{2\pi}\frac12\left(1-e^{-1}\right)d\theta=2\pi\cdot\frac12\left(1-e^{-1}\right)=\pi\left(1-e^{-1}\right)$

5. 5

   算出數值並檢查上下界。

   $\pi\left(1-\frac{1}{e}\right)\approx \pi(1-0.36788)\approx 1.9858$

   在單位圓盤上被積函數從 $e^{-1}\approx 0.368$（在邊緣）變化到 $1$（在圓心），而圓盤面積為 $\pi\approx 3.1416$。所以積分值必定介於 $0.368\pi\approx 1.156$ 與 $\pi\approx 3.142$ 之間，$1.9858$ 確實如此 $\checkmark$。把同樣的計算延伸到 $r\to\infty$ 會得到 $\pi$，這正是 $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$ 這個經典結果背後的道理。