一質點沿直線運動，位移（公尺）為 s = 5t³ + 3t + 8，t 以秒計。求 t = 5 秒時的速度與加速度。

Step-by-step solution

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   先弄清楚每一階導數的意義。 速度是位移的瞬時變化率 $v=\frac{ds}{dt}$，加速度是速度的變化率 $a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}$。不需要任何運動學公式——微分就把兩個都給出來了。

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   微分一次得速度。 逐項套用冪次律，$v(t)=15t^2+3$。常數 $8$ 會消失，因為位置上一個固定的偏移量並不影響質點跑得多快。

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   再微分一次得加速度。 $a(t)=30t$。它不是常數，所以這並不是等加速度運動。

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   把 $t=5$ 代入速度。 $v(5)=15(5)^2+3=15(25)+3=375+3=378$ 公尺每秒。

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   把 $t=5$ 代入加速度。 $a(5)=30(5)=150$ 公尺每秒平方。

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   檢查正負號是否合理。 兩個值都是正的，所以在 $t=5$ 秒時質點朝正向運動而且還在加速，這與嚴格遞增的三次函數一致。