求 e^(−x) 乘 x^3.102378 對 x 的不定積分。

Step-by-step solution

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   先看清分部積分在這裡為什麼走不通。 對整數次方 $x^n e^{-x}$，反覆分部積分會讓指數每次降一級，直到降到 $x^0$，積分就閉合了。而取 $a = 3.102378$ 時，指數依序是 $3.102378,\ 2.102378,\ 1.102378,\ 0.102378,\ -0.897622,\dots$，永遠碰不到零，所以這個過程不會終止。它沒有初等的反導函數。

2. 2

   給出真正能把它閉合的那個特殊函數。 下不完全伽瑪函數定義為

   $\gamma(s,x) = \int_0^{x} t^{s-1}e^{-t}\,dt$

   由微積分基本定理，$\dfrac{d}{dx}\gamma(s,x) = x^{s-1}e^{-x}$。

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   把指數對上。 我們需要 $s - 1 = 3.102378$，所以

   $s = 4.102378$

   因此

   $\int e^{-x}x^{3.102378}\,dx = \gamma(4.102378,\,x) + C$

4. 4

   給出等價的上不完全伽瑪寫法。 因為 $\gamma(s,x) + \Gamma(s,x) = \Gamma(s)$，而 $\Gamma(s)$ 關於 $x$ 是常數，所以同一個反導函數也可以寫成

   $\int e^{-x}x^{3.102378}\,dx = -\Gamma(4.102378,\,x) + C$

   兩種寫法只差一個常數 $\Gamma(4.102378)$，它被吸收進 $C$ 裡了。

5. 5

   順手讀出整條射線上的定積分。 令 $x \to \infty$，不完全伽瑪就收縮成完全伽瑪：

   $\int_0^{\infty} e^{-x}x^{3.102378}\,dx = \Gamma(4.102378) \approx 6.83346$

   作為對照，相鄰的整數情形是 $\Gamma(4) = 3! = 6$，可見指數稍大一點會讓積分值小幅抬升，這與 $\Gamma$ 在 $s = 4$ 之後平穩成長的性質一致。