計算 x·cos(x + y) 在頂點為 (0,0)、(π,0)、(π,π) 的三角形上的二重積分。

Step-by-step solution

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   用不等式描述這個三角形。 三個頂點分別由 $y=0$、$x=\pi$ 與 $y=x$ 相連，所以區域是 $\{0\le x\le\pi,\ 0\le y\le x\}$。先對 $y$ 積分，可以把變動的上下限留在內層，那才是它們該待的位置。

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   對 y 積分。 $\int_0^{x}\cos(x+y)\,dy=\left[\sin(x+y)\right]_0^{x}=\sin 2x-\sin x$，所以內層的結果會把因子 $x$ 帶到前面：$x\left(\sin 2x-\sin x\right)$。

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   拆成兩個標準積分。 $\int_0^{\pi}x\sin 2x\,dx$ 與 $\int_0^{\pi}x\sin x\,dx$，兩個都取 $u=x$ 用分部積分處理。

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   用分部積分算第一個。 $\int x\sin 2x\,dx=-\frac{x\cos 2x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}$。在 $x=\pi$ 處這等於 $-\frac{\pi}{2}$（因為 $\cos 2\pi=1$、$\sin 2\pi=0$），在 $x=0$ 處是 $0$，所以值為 $-\frac{\pi}{2}$。

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   用分部積分算第二個。 $\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x$。在 $x=\pi$ 處這等於 $\pi$（因為 $\cos\pi=-1$），在 $x=0$ 處是 $0$，所以值為 $\pi$。

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   帶著負號合併。 積分值為 $-\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{3\pi}{2}\approx -4.712389$。

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   數值檢查。 對這個三角形做適應性數值積分會回傳 $-4.71238898$，而 $-\frac{3\pi}{2}=-4.71238898$，所以精確值得到確認。