對非負整數 n，求 sinⁿx 從 0 到 π/2 的定積分。

Step-by-step solution

1. 1

   拆出一個正弦，再做分部積分。 寫成 $\sin^{n}x=\sin^{n-1}x\cdot\sin x$，並取

   $u=\sin^{n-1}x,\qquad dv=\sin x\,dx\ \Longrightarrow\ du=(n-1)\sin^{n-2}x\cos x\,dx,\quad v=-\cos x$

   邊界項 $\left[-\sin^{n-1}x\cos x\right]_{0}^{\pi/2}$ 在兩端都是零 —— 上端因為 $\cos\tfrac\pi2=0$，下端因為 $\sin 0=0$ —— 這正是選用這組上下限的理由。

2. 2

   把 $\cos^{2}$ 換回 $\sin$。 剩下的是

   $I_{n}=(n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x\cos^{2}x\,dx=(n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x\left(1-\sin^{2}x\right)dx$

   於是

   $I_{n}=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}$

   原本的積分又在右邊出現了，這就是提示：應該把它當成未知數解出來，而不是再積一次。

3. 3

   解出 $I_{n}$，得到降階公式。 兩邊同加 $(n-1)I_{n}$ 得 $nI_{n}=(n-1)I_{n-2}$，因此

   $I_{n}=\frac{n-1}{n}\,I_{n-2}$

   每套用一次，指標就降低二，所以這個遞迴會依 $n$ 的奇偶終止在 $I_{0}$ 或 $I_{1}$。

4. 4

   算出兩個基底情形。

   $I_{0}=\int_{0}^{\pi/2}1\,dx=\frac{\pi}{2},\qquad I_{1}=\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx=\left[-\cos x\right]_{0}^{\pi/2}=1$

   這裡是 $\pi$ 的唯一來源：它只會存活在偶數那條鏈上。

5. 5

   把遞迴展開成 Wallis 公式。

   $I_{n}=\frac{(n-1)(n-3)\cdots 1}{n(n-2)\cdots 2}\cdot\frac{\pi}{2}\ \ (n\text{ 為偶數}),\qquad I_{n}=\frac{(n-1)(n-3)\cdots 2}{n(n-2)\cdots 3}\ \ (n\text{ 為奇數})$

   例如 $I_{4}=\tfrac34\cdot\tfrac12\cdot\tfrac\pi2=\tfrac{3\pi}{16}=0.58905$，而 $I_{5}=\tfrac45\cdot\tfrac23=\tfrac{8}{15}=0.53333$。

6. 6

   記下一條同時涵蓋奇偶的公式。 藉助 Gamma 函數，

   $\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}x\,dx=\frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma\!\left(\frac{n+1}{2}\right)}{2\,\Gamma\!\left(\frac{n}{2}+1\right)}$

   從 $n=0$ 到 $7$ 逐一做數值積分，每個情形都與它吻合到小數點後十位 ✓，而且這條公式還把結果延伸到非整數的 $n>-1$。