求 ln(x^2 + y^2) 對 x 的偏導數。

Step-by-step solution

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   把 $y$ 凍結成常數。 這正是「對 $x$ 求偏導數」的全部意涵：$y$ 每一次出現都表現得像個固定的數，所以 $y^2$ 微分後是 $0$。

2. 2

   對對數套用連鎖律。 令 $u=x^2+y^2$，並用 $\dfrac{d}{du}\ln u=\dfrac1u$：

   $\frac{\partial}{\partial x}\ln u=\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$

   忘掉內層的導數、只寫出 $\tfrac{1}{x^2+y^2}$，是這裡的標準錯誤。

3. 3

   把括號內的部分對 $x$ 微分。

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2+y^2\right)=2x+0=2x$

4. 4

   把兩塊合起來。

   $\frac{\partial}{\partial x}\ln\left(x^2+y^2\right)=\frac{2x}{x^2+y^2}$

   由式子的對稱性，另一個偏導數是 $\dfrac{\partial}{\partial y}=\dfrac{2y}{x^2+y^2}$——只要把 $x$ 與 $y$ 的角色對調即可。

5. 5

   驗算結果是否合理。 在 $y=0$ 處函數化為 $\ln x^2=2\ln|x|$，它的導數是 $\tfrac{2}{x}$；而公式給出 $\tfrac{2x}{x^2}=\tfrac2x\;\checkmark$。這個偏導數在 $x=0$ 的整條 $y$ 軸上也都為零，這與「對任何固定的 $y\ne 0$，$\ln\left(x^2+y^2\right)$ 在該處對 $x$ 取到極小值」相符。函數在原點沒有定義，導數自然也沒有。