對 f(x) = 8 − 11x，求差商 (f(x + h) − f(x))/h（h 不為 0）並化簡。

Step-by-step solution

1. 1

   用括號代入，組出 $f(x+h)$。 把規則裡的每個 $x$ 都換成整個 $x+h$：

   $f(x+h) = 8 - 11(x+h) = 8 - 11x - 11h$

   寫成 $8 - 11x + h$ —— 也就是只把 $-11$ 分配到第一項 —— 是最常見的失誤。

2. 2

   組出分子，並小心這個減法。 減去 $f(x)$ 是整個式子都要減，所以它的兩項都要變號：

   $f(x+h) - f(x) = (8 - 11x - 11h) - (8 - 11x) = 8 - 11x - 11h - 8 + 11x$

3. 3

   把所有不含 $h$ 的都消掉。 $8$ 與 $-8$ 相消，$-11x$ 與 $+11x$ 相消：

   $f(x+h) - f(x) = -11h$

   每個 $x$ 都消失，正是這個函數為一次函數的訊號。

4. 4

   除以 $h$。 因為 $h \neq 0$，這個除法是合法的：

   $\frac{-11h}{h} = -11$

   $h$ 與 $x$ 都沒有留下。

5. 5

   解讀這個常數結果。 差商是通過 $(x, f(x))$ 與 $(x+h, f(x+h))$ 的割線斜率。對一條直線來說，每一條割線就是那條直線，所以這個商必定等於常數斜率 $-11$ —— 與 $f(x) = 8 - 11x$ 裡 $x$ 的係數相符。接著令 $h \to 0$ 就得到 $f'(x) = -11$，一如預期。

6. 6

   和二次函數對照。 對 $f(x) = 2x^2 - 3x + 4$ 用同樣的做法會得到 $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = 4x + 2h - 3$，其中 $x$ 與 $h$ 都還在。非線性函數留下 $h$ 是正常的；這裡之所以沒留下，正是 $8-11x$ 為一次函數的辨識特徵。

7. 7

   數值驗算。 取 $x = 2$、$h = 0.1$：$f(2.1) = 8 - 23.1 = -15.1$、$f(2) = 8 - 22 = -14$，所以商是 $\dfrac{-15.1 + 14}{0.1} = \dfrac{-1.1}{0.1} = -11$ ✓，正如所說，與 $h$ 無關。