某平面圖形由圓 x² + y² − 7y = 0、x² + y² − 9y = 0 以及直線 y = x/√3、x = 0 所圍成。請以極座標寫出其面積的積分並求出面積。

Step-by-step solution

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   先把兩個圓化成極座標形式。 代入 $x=r\cos\varphi$、$y=r\sin\varphi$，$x^2+y^2$ 變成 $r^2$，所以 $x^2+y^2-7y=0$ 變成 $r^2-7r\sin\varphi=0$，即 $r(r-7\sin\varphi)=0$。捨去極點 $r=0$ 得 $r=7\sin\varphi$；第二個圓同樣得到 $r=9\sin\varphi$。兩者都是通過原點、圓心在 $y$ 軸上的圓，所以在這個區域裡半徑由小的跑到大的：

   $7\sin\varphi \le r \le 9\sin\varphi.$

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   把兩條直線化成角度。 過原點的直線在極座標裡就是一條射線 $\varphi=\text{常數}$。直線 $x=0$ 是 $y$ 軸，所以 $\varphi=\tfrac{\pi}{2}$。對 $y=\tfrac{x}{\sqrt3}$ 代入極座標：$r\sin\varphi=\tfrac{r\cos\varphi}{\sqrt3}$，所以 $\tan\varphi=\tfrac{1}{\sqrt3}$，即 $\varphi=\tfrac{\pi}{6}$。因此角度掃過的範圍是

   $\frac{\pi}{6}\le\varphi\le\frac{\pi}{2}.$

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   組出面積積分。 極座標的面積元素是 $dS=r\,dr\,d\varphi$——多出來的那個因子 $r$ 就是 Jacobian，也是這裡最常被忘記的東西。配上前面求出的範圍，

   $S=\int_{\pi/6}^{\pi/2}\int_{7\sin\varphi}^{9\sin\varphi} r\,dr\,d\varphi.$

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   先做對 $r$ 的內層積分。 因為被積分函數就是 $r$，內層積分是一個平方差，所以 $\sin^2\varphi$ 可以乾淨地提出來：

   $\int_{7\sin\varphi}^{9\sin\varphi} r\,dr=\frac{(9\sin\varphi)^2-(7\sin\varphi)^2}{2}=\frac{81-49}{2}\sin^2\varphi=16\sin^2\varphi.$

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   用降次公式對 $\varphi$ 積分。 $\sin^2\varphi$ 沒辦法一眼看出反導函數，所以改寫成 $\sin^2\varphi=\tfrac{1-\cos 2\varphi}{2}$：

   $S=\int_{\pi/6}^{\pi/2}16\sin^2\varphi\,d\varphi=8\int_{\pi/6}^{\pi/2}(1-\cos 2\varphi)\,d\varphi=8\left[\varphi-\frac{\sin 2\varphi}{2}\right]_{\pi/6}^{\pi/2}.$

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   代入上下限求值。 在 $\varphi=\tfrac{\pi}{2}$：$\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\sin\pi}{2}=\tfrac{\pi}{2}$。在 $\varphi=\tfrac{\pi}{6}$：$\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{1}{2}\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{4}$。相減後再乘 $8$：

   $S=8\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{4}\right)=8\cdot\frac{\pi}{3}+2\sqrt3=\frac{8\pi}{3}+2\sqrt3\approx 11.84.$

   把同一個積分用數值方法算一次得 $11.8417$，所以這個封閉形式是正確的。