證明 f(x) = 根號 (9x 平方減 6x 加 3) 的圖形在 x 趨近正無限大時有斜漸近線，求出它的方程式，並判斷曲線在該直線的上方還是下方。

Step-by-step solution

1. 1

   先檢查無限遠處的行為。 根號內的 $9x^2-6x+3$ 首項係數為正、判別式為 $36-108=-72<0$，所以它對每個實數 $x$ 都是正的，$f$ 在整個 $\mathbb{R}$ 上都有定義。當 $x\to+\infty$ 時根號內 $\to+\infty$，因此 $f(x)\to+\infty$：圖形向上竄，唯一可能的漸近線就是一條斜線。

2. 2

   把根號裡的式子配方。 把 $x$ 的項提出 $9$：

   $9x^2-6x+3=9\left(x^2-\frac{2}{3}x\right)+3=9\left(x-\frac{1}{3}\right)^2-1+3$

   而 $9\left(x-\tfrac13\right)^2=(3x-1)^2$，所以

   $9x^2-6x+3=(3x-1)^2+2$

   這個標準形式是關鍵一步：它把藏在根號裡的一次函數暴露出來。

3. 3

   由標準形式猜出漸近線。 寫成

   $f(x)=\sqrt{(3x-1)^2+2}$

   當 $x$ 很大時，$+2$ 相對於 $(3x-1)^2$ 可以忽略，所以在 $x>\tfrac13$ 時 $f(x)\approx|3x-1|=3x-1$。因此候選的漸近線是

   $\Delta:\ y=3x-1$

4. 4

   用共軛式的技巧證明它。 令 $h(x)=f(x)-(3x-1)$。這是 $\infty-\infty$ 型，所以上下同乘共軛式：

   $h(x)=\frac{\left[(3x-1)^2+2\right]-(3x-1)^2}{\sqrt{(3x-1)^2+2}+(3x-1)}=\frac{2}{\sqrt{(3x-1)^2+2}+(3x-1)}$

   分子是常數 $2$，分母 $\to+\infty$，所以

   $\lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-(3x-1)\bigr]=0$

   而這恰好就是「$y=3x-1$ 是 $C$ 在 $+\infty$ 處的漸近線」的定義。

5. 5

   由 $h$ 的正負讀出曲線的位置。 當 $x>\tfrac13$ 時分母的兩項都是正的，所以

   $h(x)=\frac{2}{\sqrt{(3x-1)^2+2}+(3x-1)}>0$

   因此 $f(x)>3x-1$：曲線落在漸近線上方，並且從上方逼近，永遠不會碰到它。

6. 6

   做個總結，並補上另一端。

   $\boxed{y=3x-1\ \text{ 是 }+\infty\ \text{ 處的漸近線 }\Delta,\ C\text{ 在其上方}}$

   數值上，$f(10)-29=0.0345$、$f(10^4)-29999=3.33\times 10^{-5}$，以 $\tfrac{1}{3x}$ 的速度縮小。用 $|3x-1|=1-3x$ 做同樣的計算，可得 $-\infty$ 處的漸近線是 $y=-3x+1$，曲線同樣在它上方。