求 y = sin²x 的導數。

Step-by-step solution

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   先把記號讀對。 $\sin^2 x$ 指的是 $\left(\sin x\right)^2$，不是 $\sin\left(x^2\right)$。外層函數是平方、內層函數是正弦；把兩者搞反會得到 $2x\cos(x^2)$，是完全不同的答案。

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   用明確的代換架起連鎖律。 令

   $u=\sin x\ \Longrightarrow\ y=u^2$

   連鎖律於是給出

   $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=2u\cdot\frac{du}{dx}$

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   微分內層函數。

   $\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

   （這裡弧度制才有意義：$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ 只在以弧度度量時成立。）

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   代回去。

   $\frac{dy}{dx}=2\sin x\cos x$

   注意 $u$ 必須換回 $\sin x$ —— 把答案留成 $2u\cos x$ 是不完整的。

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   用二倍角公式改寫。 因為 $\sin 2x=2\sin x\cos x$，

   $\frac{dy}{dx}=\sin 2x$

   兩種形式都正確；比較精簡的那個讓零點一目了然，就落在 $x=\tfrac{k\pi}{2}$。

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   數值檢查。 在 $x=0.7$ 處中央差分給出 $0.98544973$，而 $\sin(1.4)=0.98544973$ ✓。結構上也可以檢查：$y=\sin^2x$ 在 $x=0,\pi$ 有極小值、在 $x=\tfrac\pi2$ 有極大值，而 $\sin 2x$ 恰好在這些點為零。