求 (x + 3) 對 x 的不定積分。

Step-by-step solution

1. 1

   用和的法則把積分拆開。 積分是線性的，所以和式可以一項一項處理：

   $\int(x+3)\,dx=\int x\,dx+\int 3\,dx$

2. 2

   用冪次法則積出一次項。 這裡 $n=1$，所以 $n+1=2$：

   $\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}$

3. 3

   積出常數項。 常數 $k$ 就是 $kx^0$，冪次法則把它變成 $kx$：

   $\int 3\,dx=3x$

   直觀地說：斜率恆等於 $3$ 的函數，就是一條斜率為 $3$ 的直線。

4. 4

   合併，只補上一個積分常數。 反正兩個各自的常數最後也會併成一個：

   $\int(x+3)\,dx=\frac{x^2}{2}+3x+C$

5. 5

   求導檢驗。 $\tfrac{d}{dx}\left(\tfrac{x^2}{2}+3x+C\right)=x+3$ $\checkmark$。再做個數值檢驗：在 $x=1.3$ 處，$\tfrac{x^2}{2}+3x$ 的差商是 $4.300$，而被積函數是 $1.3+3=4.3$ $\checkmark$。