設 f(x) 在 x 小於 2 時等於 x 平方加 2x 減 3、在 x 大於等於 2 時等於 ax 加 1。求使 f 在 x = 2 處連續的 a 值。

Step-by-step solution

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   先寫下「在一點連續」要求什麼。 函數在 $x=2$ 連續，恰好是下列三者都存在且相等：

   $\lim_{x\to 2^-}f(x)=f(2)=\lim_{x\to 2^+}f(x)$

   每一段都是多項式，在自己那一側本來就連續；唯一可能出問題的地方，就是接縫 $x=2$ 處對不上。

2. 2

   由第一段算左極限。 $x<2$ 時規則是 $f(x)=x^2+2x-3$，是多項式，所以極限就是它在 $2$ 的值：

   $\lim_{x\to 2^-}f(x)=2^2+2(2)-3=4+4-3=5$

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   由第二段算函數值與右極限。 第二條規則適用於 $x\ge 2$，所以它同時提供 $f(2)$ 與右極限：

   $f(2)=2a+1,\qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=2a+1$

   因為不等式是 $x\ge 2$ 而不是 $x>2$，函數在接縫處本來就有定義 —— 這裡沒有洞要補，只有跳躍要合起來。

4. 4

   令兩側相等並求解。 連續性強迫

   $2a+1=5\qquad\Longrightarrow\qquad 2a=4\qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{a=2}$

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   把函數重寫一次來驗證。 取 $a=2$，

   $f(x)=\begin{cases} x^2+2x-3, & x<2\\ 2x+1, & x\ge 2\end{cases}$

   從左邊逼近，$f(1.99)=4.9401$；從右邊逼近，$f(2.01)=5.02$；而 $f(2)=5$。圖形接得起來、沒有跳躍。注意能達成的只有連續：在 $x=2$ 處左導數是 $2x+2=6$、右導數是 $2$，所以圖形在那裡仍有一個尖角 —— 沒有任何 $a$ 能讓它可微。