化簡 (cos x − cos³x)/x²，並求它在 x 趨近 0 時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   檢查形式。 在 $x=0$ 時分子是 $1-1=0$，分母是 $0$，所以這個商是 $\tfrac00$——不定型，必須先化簡才能把極限讀出來。

2. 2

   把分子因式分解。 兩項都有共同因式 $\cos x$：

   $\cos x-\cos^{3}x=\cos x\left(1-\cos^{2}x\right).$

   把共同因式提出來，才會露出括號裡藏著的畢氏恆等式。

3. 3

   套用畢氏恆等式。 由 $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ 可得 $1-\cos^{2}x=\sin^{2}x$，於是

   $\cos x-\cos^{3}x=\cos x\,\sin^{2}x,$

   所以整個式子變成 $\dfrac{\cos x\sin^{2}x}{x^{2}}$。分母裡的 $x^{2}$ 現在有了顯而易見的搭檔：$\sin^{2}x$。

4. 4

   拆成標準的零件。 把 $\sin^{2}x$ 跟 $x^{2}$ 湊在一起：

   $\frac{\cos x-\cos^{3}x}{x^{2}}=\cos x\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}.$

   這就是化簡後的形式，對所有 $x\ne 0$ 都成立，而且它完全由那些在 $0$ 已知極限的量組成。

5. 5

   取極限。 使用 $\lim_{x\to0}\cos x=1$ 與基本極限 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$，再配合乘積律與冪次律：

   $\lim_{x\to0}\frac{\cos x-\cos^{3}x}{x^{2}}=1\cdot 1^{2}=1.$

   數值確認：在 $x=0.1$ 時商是 $0.99169$，在 $x=0.01$ 時是 $0.999917$，在 $x=0.001$ 時是 $0.99999917$ ✓——由下方收斂到 $1$，正如 $\cos x<1$ 所預測。