求 x 趨於負無窮大時 1 除以 x 的平方的極限。

Step-by-step solution

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   注意偶次方把符號抹掉了。 對每個 $x\neq 0$ 都有 $x^2>0$，所以 $x$ 是跑向 $+\infty$ 還是 $-\infty$ 毫無區別：分母兩種情況下都是正的。這也正是這個極限必然與 $+\infty$ 處的極限相同的原因。

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   看出分母是無界增長的。 因為 $x^2=|x|^2$，而 $x\to-\infty$ 時 $|x|\to\infty$，所以

   $x^2\to+\infty$

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   套用「定值除以無界量」的法則。 分子始終是 $1$，分母卻超過任何界限，於是這個商被擠向零：

   $\frac{1}{x^2}\to 0$

   說得更精確些：對任意 $\varepsilon>0$，只要 $|x|>1/\sqrt{\varepsilon}$ 就有 $1/x^2<\varepsilon$，這正是極限的嚴格表述。

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   用具體數字檢驗。 $x=-10$ 時：$1/100=0.01$。$x=-100$ 時：$1/10000=0.0001$。$x=-1000$ 時：$10^{-6}$。這些值不斷縮向 $0$，而且始終為正。

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   記下答案，以及趨近的方向。 極限是 $0$，並且是從上方趨近的——函數值從不為負，所以圖形是從上面壓向 $x$ 軸的。同樣的論證還給出：對一切 $n>0$，都有 $\lim_{x\to\pm\infty}x^{-n}=0$。