解微分方程式 dy/dx + ay = b，其中 a 與 b 是常數。

Step-by-step solution

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   認出標準形式。 這個方程式已經是常係數的 $y'+P(x)y=Q(x)$：

   $P(x)=a,\qquad Q(x)=b$

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   算出積分因子。

   $\mu(x)=e^{\int a\,dx}=e^{ax}$

3. 3

   兩邊同乘，把左邊塌縮起來。

   $e^{ax}\frac{dy}{dx}+ae^{ax}y=be^{ax}\quad\Longrightarrow\quad\frac{d}{dx}\left(e^{ax}y\right)=be^{ax}$

4. 4

   在 $a\neq 0$ 的前提下積分。

   $e^{ax}y=\frac{b}{a}e^{ax}+C\quad\Longrightarrow\quad y=\frac{b}{a}+Ce^{-ax}$

   正因為這裡除以了 $a$，$a=0$ 才必須另外處理。

5. 5

   處理 $a=0$。 方程式退化成 $\tfrac{dy}{dx}=b$，它的解是一條直線：

   $y=bx+C$

6. 6

   驗證並解讀。 對 $a\neq 0$：$y'=-aCe^{-ax}$ 且 $ay=b+aCe^{-ax}$，所以 $y'+ay=b$ $\checkmark$（在 $a=1.3$、$b=2.1$、$C=0.7$、$x=0.6$ 處經數值確認）。常數 $\tfrac{b}{a}$ 就是平衡值：若 $a>0$，每個解都會衰減趨向它，這正是牛頓冷卻定律與 RC 電路充電背後的形狀。