微分並化簡：y = arcsin(x⁴)，也寫作 y = sin⁻¹(x⁴)。

Step-by-step solution

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   認出這是合成函數，並選對兩個法則。 外層函數是反正弦，內層函數是 $u=x^{4}$，所以要用反正弦的導數搭配連鎖律。注意這裡的 $\sin^{-1}$ 指的是反正弦，不是 $1/\sin$ —— 這個記號確實常引起誤會。

2. 2

   把反正弦的導數寫成連鎖律的形式。 若 $y=\sin^{-1}(u)$，其中 $u$ 是 $x$ 的函數，則

   $\frac{dy}{dx}=\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}$

   這裡 $u=x^{4}$。

3. 3

   微分內層函數。 由冪次法則，

   $u'=\frac{d}{dx}\left(x^{4}\right)=4x^{3}$

4. 4

   代回並化簡根號內的式子。 把 $u=x^{4}$ 與 $u'=4x^{3}$ 代進公式，

   $\frac{dy}{dx}=\frac{4x^{3}}{\sqrt{1-\left(x^{4}\right)^{2}}}=\frac{4x^{3}}{\sqrt{1-x^{8}}}$

   關鍵的化簡是 $\left(x^{4}\right)^{2}=x^{4\cdot 2}=x^{8}$，不是 $x^{16}$ 或 $x^{6}$。

5. 5

   注意定義域並做數值驗算。 這個式子要求 $1-x^{8}>0$，也就是 $-1<x<1$，恰好是 $\sin^{-1}(x^{4})$ 的定義域扣掉導數發散的兩個端點。取 $h=10^{-6}$ 對 $\sin^{-1}(x^{4})$ 做中央差分，在 $x=0.3$ 得 $0.10800354$、在 $x=0.7$ 得 $1.41334288$、在 $x=-0.5$ 得 $-0.50097943$，三處都與 $4x^{3}/\sqrt{1-x^{8}}$ 吻合到小數點後八位。