設 S 是球面 x² + y² + z² = 2 的下半部，取內側為正向。計算 (x² + xz) dy dz + (y² + yz) dz dx + (2z² + 1) dx dy 的曲面積分。

Step-by-step solution

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   把它讀成通量。 這個積分就是 $\iint_\Sigma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$，其中 $\mathbf{F}=(x^2+xz,\;y^2+yz,\;2z^2+1)$。由於 $\Sigma$ 並不封閉，要用散度定理就得先補一塊蓋子。

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   用平的圓盤把曲面封起來。 補上 $D:\{x^2+y^2\le 2,\ z=0\}$。$\Sigma$ 與 $D$ 合起來就圍出下半個球體 $V$。在這個封閉邊界上，向外的法向量在 $\Sigma$ 上朝下朝外，在 $D$ 上則朝上（$+\mathbf{k}$）。

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   套用高斯定理。 $\nabla\cdot\mathbf{F}=(2x+z)+(2y+z)+4z=2x+2y+6z$。由於 $V$ 對 $x$ 與對 $y$ 都是對稱的，$2x$ 與 $2y$ 兩塊積分後為零，只剩下 $\iint_{\partial V,\text{向外}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=6\iiint_V z\,dV.$

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   算出剩下的三重積分。 用球座標，$0\le\rho\le\sqrt2$、$\tfrac\pi2\le\varphi\le\pi$， $\iiint_V z\,dV=2\pi\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\int_0^{\sqrt2}\rho^3\,d\rho=2\pi\left(-\frac12\right)(1)=-\pi,$ 所以封閉曲面向外的總通量是 $6(-\pi)=-6\pi$。

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   扣掉圓盤那一塊。 在 $D$ 上 $z=0$，所以 $dy\,dz$ 與 $dz\,dx$ 都沒有貢獻，而第三個分量是 $2(0)^2+1=1$。朝上的通量就等於圓盤面積：$\pi(\sqrt2)^2=2\pi$。因此穿過 $\Sigma$ 向外的通量是 $-6\pi-2\pi=-8\pi$。

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   翻到內側。 題目要的是內側取向，這會把法向量反過來： $\iint_{\Sigma,\text{內側}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=-(-8\pi)=8\pi.$ 所以空格要填 $8$。