求 tan(x)/(1 + x^2) 的馬克勞林級數，到 x 的 7 次項為止。

Step-by-step solution

1. 1

   選擇相乘而不是反覆微分。 直接算 $f^{(7)}(0)$ 會非常折騰。改用兩個已經知道的級數把它們相乘，只保留次數 $\le 7$ 的項：

   $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+O\!\left(x^9\right)$

   $\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+O\!\left(x^8\right)$

   第二個就是幾何級數 $\sum(-1)^n x^{2n}$，在 $|x|<1$ 時成立。

2. 2

   注意只有奇次冪能存活。 $\tan x$ 是奇函數，$\dfrac{1}{1+x^2}$ 是偶函數，所以兩者的乘積是奇函數——每一個偶次係數都必須為零。這讓要記的帳少掉一半，也順帶給出一個立即可用的檢查。

3. 3

   收集 $x^3$ 與 $x^5$ 的係數。 把正切級數的每一項乘上幾何級數的每一項，再把同次冪聚在一起：

   $[x^3]:\; 1\cdot(-1)+\frac13\cdot 1=-\frac23$

   $[x^5]:\; 1\cdot 1+\frac13\cdot(-1)+\frac{2}{15}\cdot 1=\frac{15-5+2}{15}=\frac{12}{15}=\frac45$

4. 4

   收集 $x^7$ 的係數。 有四個乘積會有貢獻：

   $[x^7]:\;1\cdot(-1)+\frac13\cdot 1+\frac{2}{15}\cdot(-1)+\frac{17}{315}\cdot 1$

   通分到公分母 $315$：$\dfrac{-315+105-42+17}{315}=\dfrac{-235}{315}=-\dfrac{47}{63}$。

5. 5

   組出級數並做數值檢驗。

   $\frac{\tan x}{1+x^2}=x-\frac{2}{3}x^3+\frac{4}{5}x^5-\frac{47}{63}x^7+O\!\left(x^9\right)$

   在 $x=0.1$ 處，截斷後的級數給出 $0.09934125873$，而 $\tan(0.1)/1.01=0.09934125949$——吻合到小數點後 $8$ 位，正好是 $O(x^9)$ 這個誤差項所預測的精確度 $\checkmark$。