判斷 1/(3 乘以 (x − 8)² 的平方根) 從負無窮大到 0 的積分是否收斂，若收斂則求其值。

Step-by-step solution

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   把平方根化成絕對值。 對每一個實數 $x$ 都有 $\sqrt{(x-8)^2}=|x-8|$ ——而不是 $x-8$。這個區別正是本題的重點，因為積分範圍整個落在 $8$ 的左邊很遠處。

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   在實際的區間上把絕對值拿掉。 在 $(-\infty,0]$ 上有 $x\le 0<8$，所以 $x-8<0$、$|x-8|=8-x$。積分變成 $\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{3(8-x)}.$

3. 3

   寫成極限的形式。 下端點是無窮遠，所以依定義 $\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{3(8-x)}=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{0}\frac{dx}{3(8-x)}.$ 被積函數本身在整個範圍上都連續而且為正——唯一的麻煩來源就是區間無界。

4. 4

   求出一個原函數。 代換 $u=8-x$、$du=-dx$，得到 $\int\frac{dx}{3(8-x)}=-\frac13\int\frac{du}{u}=-\frac13\ln|8-x|+C.$

5. 5

   求那個極限。 $\lim_{a\to-\infty}\left[-\frac13\ln(8-x)\right]_{a}^{0}=\lim_{a\to-\infty}\left(-\frac13\ln 8+\frac13\ln(8-a)\right).$ 當 $a\to-\infty$ 時 $8-a\to+\infty$，因此 $\ln(8-a)\to+\infty$，整個式子無界地增大。

6. 6

   下結論。 這個積分發散到 $+\infty$。這就是常見的 $1/x$ 型尾巴：被積函數的衰減速度像 $\frac{1}{3|x|}$，而 $\int^{\infty}\frac{dx}{x}$ 正是那個剛好收斂不了的臨界情形。