求 x 平方減 4 在 x 趨近正無窮大時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   比較這兩項。 當 $x$ 增大時 $x^2$ 無界地成長，而 $-4$ 始終不變。在任何和裡，次數最高的那一項最終都會佔上風，所以極限完全由 $x^2$ 決定。

2. 2

   計算主導項。 $x\to\infty$ 給出 $x^2\to+\infty$（把一個很大的正數平方會讓它更大）。

3. 3

   減去常數。 從一個無界的量裡拿掉固定的 $4$，它依然是無界的：

   $x^2-4\to+\infty$

   這個平移只是把圖形往下移 $4$ 個單位，壓不住它的成長。

4. 4

   用數值驗證。 在 $x=10$：$96$。在 $x=100$：$9996$。在 $x=1000$：$999996$。$x$ 每往上跳十倍，輸出大約就乘上 $100$。

5. 5

   誠實地解讀這個答案。 我們寫

   $\lim_{x\to\infty}(x^2-4)=+\infty$

   但 $+\infty$ 不是一個數：正確的說法是這個極限不以有限值存在，而函數發散到 $+\infty$。另外也要注意 $\lim_{x\to-\infty}(x^2-4)=+\infty$ 同樣成立，因為平方會把正負號抹掉。