由 y = x² + 5、x 軸、y 軸與直線 x = 5 所圍成的區域，繞 x 軸旋轉 360 度所形成立體的體積是多少？

Step-by-step solution

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   先框住區域並挑方法。 四條邊界給出 $0\le x\le 5$（$y$ 軸即 $x=0$）與 $0\le y\le x^2+5$。因為在 $[0,5]$ 上恆有 $x^2+5>0$，曲線從不越過旋轉軸，而區域整條底邊都貼著那條軸 —— 所以每個垂直於 $x$ 軸的截面都是完整的圓盤，不是墊圈。圓盤法是直接的選擇；圓柱殼法則需要在 $y=5$ 處把區域拆開，工作量更大。

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   寫出圓盤法的積分。 位置 $x$、厚度 $dx$ 的一片掃出半徑 $R(x)=y=x^2+5$、面積 $\pi R(x)^2$ 的圓盤，所以

   $V=\pi\int_0^5 \left(x^2+5\right)^2 dx.$

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   積分前先把平方展開。 這裡沒有連鎖律的捷徑（$\int (x^2+5)^2dx \ne \tfrac{(x^2+5)^3}{3}$，因為內層的導數不是常數），所以先乘開：

   $\left(x^2+5\right)^2=x^4+10x^2+25.$

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   逐項積分。 每一項都是簡單的冪次：

   $V=\pi\int_0^5\left(x^4+10x^2+25\right)dx=\pi\left[\frac{x^5}{5}+\frac{10x^3}{3}+25x\right]_0^5.$

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   代入上下限。 在 $x=5$：$\tfrac{5^5}{5}=625$、$\tfrac{10\cdot 125}{3}=\tfrac{1250}{3}$、$25\cdot 5=125$。下限貢獻 $0$。通分到 $3$ 後相加：

   $625+125+\frac{1250}{3}=\frac{1875+375+1250}{3}=\frac{3500}{3}.$

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   寫出體積。 因此

   $V=\frac{3500\pi}{3}\approx 3665.19\text{ 立方單位}.$

   對 $\pi\int_0^5(x^2+5)^2dx$ 做數值計算得到 $3665.1914$，印證了精確值。