畫出由 y = x²、y = 2 − x、x = 0 與 x = 1 所圍的區域 R，再依先對 y 後對 x 的次序計算 x² + y² 在 R 上的二重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   寫下任何積分限之前，先把區域描述清楚。 在長條 $0\le x\le 1$ 上比較兩條曲線。在 $x=0$ 處它們給出 $y=0$ 與 $y=2$；在 $x=1$ 處給出 $y=1$ 與 $y=1$。由於在 $[0,1]$ 上 $2-x-x^2=(2+x)(1-x)\ge 0$，拋物線全程都是下邊界、直線全程都是上邊界，兩者只在角點 $(1,1)$ 相接。

2. 2

   按 dy dx 的次序列出累次積分。 因為每個 $x$ 對應的鉛直切片都是乾淨地從一條曲線走到另一條，這個次序不需要把區域切開：

   $I=\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{2-x}\left(x^{2}+y^{2}\right)dy\,dx.$

3. 3

   把 x 當成常數，做內層積分。

   $\int_{x^{2}}^{2-x}\left(x^{2}+y^{2}\right)dy=\left[x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right]_{y=x^{2}}^{y=2-x}$

   $=x^{2}\left(2-x-x^{2}\right)+\frac{(2-x)^{3}-x^{6}}{3}.$

4. 4

   展開成 x 的單一多項式。 利用 $(2-x)^3=8-12x+6x^2-x^3$，

   $=2x^{2}-x^{3}-x^{4}+\frac{8-12x+6x^{2}-x^{3}-x^{6}}{3}=\frac{8}{3}-4x+4x^{2}-\frac{4x^{3}}{3}-x^{4}-\frac{x^{6}}{3}.$

5. 5

   從 0 積到 1，逐項計算。

   $I=\frac{8}{3}-2+\frac{4}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{21}.$

   通分到公分母 $105$ 後為

   $I=\frac{280-210+140-35-21-5}{105}=\frac{149}{105}.$

6. 6

   檢查答案的量級。 區域面積為 $\int_0^1(2-x-x^2)dx=2-\tfrac12-\tfrac13=\tfrac76\approx1.167$，而 $x^2+y^2$ 在其上的取值從 $0$ 到 $4$，所以平均值大約 $\tfrac{149/105}{7/6}\approx1.22$ 完全合理。在同一區域上做蒙地卡羅估計得到 $1.4195$，與 $149/105\approx1.4190$ 相符。