對 y = e^(2x) · artanh(√(e^x − 1)) 就 x 微分。

Step-by-step solution

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   先確定定義域，再開始微分。 平方根需要 $e^{x}-1\ge 0$，也就是 $x\ge 0$；而 $\operatorname{artanh}(z)$ 需要 $|z|<1$，也就是 $e^{x}-1<1$，即 $x<\ln 2$。所以這個函數只存在於

   $0\le x<\ln 2\approx 0.693$

   先弄清楚這件事，就能解釋後面出現的因子 $2-e^{x}$，以及它為什麼永遠不會變號。

2. 2

   架好乘法律。 取 $u=e^{2x}$ 與 $v=\operatorname{artanh}\left(\sqrt{e^{x}-1}\right)$，

   $y'=u' v+uv',\qquad u'=2e^{2x}$

   難的那一半是 $v'$，它是兩層的合成。

3. 3

   微分內層的平方根。 取 $z=\left(e^{x}-1\right)^{1/2}$，連鎖律給出

   $z'=\frac12\left(e^{x}-1\right)^{-1/2}\cdot e^{x}=\frac{e^{x}}{2\sqrt{e^{x}-1}}$

4. 4

   套用 artanh 的導數並化簡 $1-z^{2}$。 因為 $\dfrac{d}{dz}\operatorname{artanh}z=\dfrac{1}{1-z^{2}}$，而這裡剛好 $z^{2}=e^{x}-1$，

   $1-z^{2}=1-\left(e^{x}-1\right)=2-e^{x}$

   平方根從這個因子裡完全消失 —— 這是真正的化簡，也是答案還能保持好讀的原因。注意 $2-e^{x}>0$ 恰好就在步驟 1 找到的定義域上成立。

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   先組出 $v'$，再組出 $y'$。

   $v'=\frac{e^{x}}{2\sqrt{e^{x}-1}\left(2-e^{x}\right)}$

   $y'=2e^{2x}\operatorname{artanh}\left(\sqrt{e^{x}-1}\right)+\frac{e^{2x}\cdot e^{x}}{2\sqrt{e^{x}-1}\left(2-e^{x}\right)}=2e^{2x}\operatorname{artanh}\left(\sqrt{e^{x}-1}\right)+\frac{e^{3x}}{2\sqrt{e^{x}-1}\left(2-e^{x}\right)}$

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   在定義域內做數值檢查。 在 $x=0.5$ 處原函數的中央差分給出 $13.9758241$，而公式也給出 $13.9758241$ ✓；在 $x=0.6$ 處兩者都得 $28.7724865$ ✓。導數在定義域的兩端都會爆掉，這正如因子 $\sqrt{e^{x}-1}\to 0$ 與 $2-e^{x}\to 0$ 所預示的。