求 3 sin(x)/cos²(x) + sin(2x) 在 x = 0 的泰勒級數，展開到五次項。

Step-by-step solution

1. 1

   把商化成兩個已知級數的乘積。 直接對 $3\sin x/\cos^2 x$ 反覆微分很痛苦，所以把它寫成 $3\sin x\cdot\sec^{2}x$，再用兩個標準的馬克勞林展開式：$\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+O(x^{7}),\qquad \sec^{2}x=1+x^{2}+\frac{2}{3}x^{4}+O(x^{6}).$

2. 2

   相乘，只保留到 x^5 的項。 把總次數不超過 $5$ 的乘積收集起來：$x\cdot 1=x$；$x\cdot x^{2}=x^{3}$；$-\frac{x^{3}}{6}\cdot 1=-\frac{x^{3}}{6}$；$x\cdot\frac23x^{4}=\frac23x^{5}$；$-\frac{x^{3}}{6}\cdot x^{2}=-\frac{x^{5}}{6}$；$\frac{x^{5}}{120}\cdot 1=\frac{x^{5}}{120}$。因此 $\sin x\,\sec^{2}x=x+\frac56x^{3}+\left(\frac23-\frac16+\frac1{120}\right)x^{5}+O(x^{6})=x+\frac56x^{3}+\frac{61}{120}x^{5}+O(x^{6}).$

3. 3

   乘上 3。 逐項乘開得 $\frac{3\sin x}{\cos^{2}x}=3x+\frac{5}{2}x^{3}+\frac{61}{40}x^{5}+O(x^{6}).$

4. 4

   用代換展開第二項。 在正弦級數裡把 $x$ 換成 $2x$，$\sin(2x)=2x-\frac{(2x)^{3}}{6}+\frac{(2x)^{5}}{120}+O(x^{7})=2x-\frac43x^{3}+\frac{4}{15}x^{5}+O(x^{7}).$

5. 5

   兩個級數逐係數相加。 $x$ 項給出 $3+2=5$；$x^{3}$ 項給出 $\frac52-\frac43=\frac{15-8}{6}=\frac76$；$x^{5}$ 項給出 $\frac{61}{40}+\frac{4}{15}=\frac{183+32}{120}=\frac{215}{120}=\frac{43}{24}$。只有奇次方留下來，這與 $f$ 是奇函數的預期相符。

6. 6

   用數值檢查這個多項式。 在 $x=0.01,\,0.02,\,0.05$ 處計算 $f(x)-\left(5x+\frac76x^{3}+\frac{43}{24}x^{5}\right)$，分別得到 $8.0\times10^{-15}$、$1.0\times10^{-12}$ 與 $6.3\times10^{-10}$；各自除以 $x^{7}$ 後大致都是同一個常數 $0.80$，確認誤差是 $O(x^{7})$，沒有漏掉更低次的項。