求 2x 減 4yz 在區域 E 上的三重積分，其中 2 小於等於 x 小於等於 3、0 小於等於 y 小於等於 2x−4、0 小於等於 z 小於等於 5x+5y−3。

Step-by-step solution

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   從區域的描述直接讀出積分順序。 每個上下限都只依賴排在它左邊的變數，所以區域已經按 $dz\,dy\,dx$ 排好了：

   $\int_{2}^{3}\int_{0}^{2x-4}\int_{0}^{5x+5y-3}(2x-4yz)\,dz\,dy\,dx$

2. 2

   先對 $z$ 積分。 把 $x$ 與 $y$ 視為常數。一個反導函數是 $2xz - 2yz^2$，所以從 $0$ 積到 $5x+5y-3$ 得

   $2x(5x+5y-3)-2y(5x+5y-3)^2$

3. 3

   把被積式展開。 由 $(5x+5y-3)^2 = 25x^2+25y^2+9+50xy-30x-30y$，中括號內成為

   $10x^2+70xy-6x-50x^2y-100xy^2+60y^2-50y^3-18y$

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   對 $y$ 從 $0$ 積到 $a = 2x-4$。 一個反導函數是

   $(10x^2-6x)y+35xy^2-25x^2y^2-\tfrac{100x}{3}y^3+20y^3-\tfrac{25}{2}y^4-9y^2$

   代入 $y=a$ 之後只剩下一個純 $x$ 的多項式（$y=0$ 那一端沒有貢獻）。

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   收尾前記下一個好用的檢查。 因為 $a = 2x-4$ 在 $x=2$ 處為零，整個被積式在下限處也應該為零 —— 如果你的式子不是這樣，上面的代數某處就出錯了。

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   把得到的 $x$ 多項式從 $2$ 積到 $3$。 每一項都是 $x$ 的冪次，所以最後這一步是例行公事。全程用精確有理數運算，得

   $\iiint_E (2x-4yz)\,dV = -268$

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   重點提醒。 這題真正的難處只在帳目管理：按不等式所指定的順序積分、一次代一個上下限、進到下一個變數之前先完整展開。全程保留精確分數 —— 三重積分中途四捨五入，正是大多數正負號與數量級錯誤的來源。