對固定的 δ > 0，求 (2 arctan(ρ/δ)/π)^ρ 在 ρ 趨近無窮大時的極限，並判斷該量減 1 的自然對數對實數 ρ 是否可能有定義。

Step-by-step solution

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   先釘住有限 $\rho$ 時的底。 對每個有限的 $\rho>0$ 與固定的 $\delta>0$，引數 $\rho/\delta$ 都是有限的，所以 $\arctan\frac{\rho}{\delta}<\frac{\pi}{2}$ 嚴格成立——值 $\frac{\pi}{2}$ 只是一條水平漸近線，永遠達不到。因此

   $0<\frac{2\arctan\frac{\rho}{\delta}}{\pi}<1$

   這就是關鍵：底是從下方趨近 $1$，所以取一個很大的次方會把它往下拉，而不是讓它停在 $1$。

2. 2

   把底改寫成 $1$ 減去一個很小的量。 對 $u>0$ 使用恆等式 $\arctan u+\arctan\frac{1}{u}=\frac{\pi}{2}$：

   $\arctan\frac{\rho}{\delta}=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{\delta}{\rho}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{2\arctan\frac{\rho}{\delta}}{\pi}=1-\frac{2}{\pi}\arctan\frac{\delta}{\rho}$

   當 $\rho\to+\infty$ 時 $\frac{\delta}{\rho}\to 0$ 且 $\arctan u\sim u$，所以底的行為像 $1-\frac{2\delta}{\pi\rho}$。

3. 3

   套用經典的指數極限。 由於 $\lim_{\rho\to\infty}\left(1-\frac{c}{\rho}\right)^{\rho}=e^{-c}$，取 $c=\frac{2\delta}{\pi}$ 得到

   $\lim_{\rho\to+\infty}\left(\frac{2\arctan\frac{\rho}{\delta}}{\pi}\right)^{\rho}=e^{-2\delta/\pi}$

   那句耳熟能詳的提醒「$\left(1-\frac1n\right)^{n}\to e^{-1}$，而不是 $1$」講的正是同一個現象：趨近 $1$ 的底與趨向無窮大的指數在較勁，而乘積 $\rho\cdot\frac{2\delta}{\pi\rho}$ 決定了勝負。

4. 4

   下結論：對數的引數是負的。 因為 $\delta>0$，所以 $0<e^{-2\delta/\pi}<1$，因此

   $\left(\frac{2\arctan\frac{\rho}{\delta}}{\pi}\right)^{\rho}-1\ \longrightarrow\ e^{-2\delta/\pi}-1<0$

   而且對每個有限的 $\rho>0$，底本來就已經嚴格小於 $1$，所以中括號嚴格為負——不只是在極限時才如此。負數的實數對數沒有定義，所以那個 $\ln$ 在實數範圍內從來就說不通。

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   用數值驗證這兩項主張。 取 $\delta=1$：$e^{-2/\pi}=0.5290778$，而該式在 $\rho=10$ 時給出 $0.5191644$，在 $\rho=100$ 時 $0.5280135$，在 $\rho=10^{3}$ 時 $0.5289707$，在 $\rho=10^{7}$ 時 $0.5290778$——收斂到預測值，顯然不是收斂到 $1$。取 $\delta=3$ 時，目標值 $e^{-6/\pi}=0.1481012$ 同樣達到。而中括號在 $\rho=0.1,1,10,1000$ 時分別算出 $-0.2410$、$-0.5000$、$-0.4808$ 與 $-0.4710$：全程為負。