解微分方程式 2xy(y′)² + 2(x² + y²)y′ + 2xy = 0：先解出 y′，再把所得的每個一階方程式積分。

Step-by-step solution

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   先認清它對 $y'$ 而言是代數式，還不是微分方程式。 兩邊同除以 $2$，並記 $p=y'$：

   $xy\,p^{2}+(x^{2}+y^{2})\,p+xy=0.$

   式子裡沒有出現 $p$ 的導數，所以這只是一個普通的二次方程式，只不過它的「係數」恰好依賴 $x$ 與 $y$。把它解開，一條麻煩的方程式就變成兩條乾淨的可分離方程式。

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   算出判別式，並注意到它是完全平方。

   $(x^{2}+y^{2})^{2}-4(xy)(xy)=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}-y^{2})^{2}.$

   這正是本題能寫出封閉形式解的原因：平方根開得出有理式，$\sqrt{(x^{2}-y^{2})^{2}}=|x^{2}-y^{2}|$，而正負號也被公式裡的 $\pm$ 吸收掉了。

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   讀出兩個分支。

   $p=\frac{-(x^{2}+y^{2})\pm(x^{2}-y^{2})}{2xy}.$

   取 $+$ 的分支給出 $p=\dfrac{-2y^{2}}{2xy}=-\dfrac{y}{x}$；取 $-$ 的分支給出 $p=\dfrac{-2x^{2}}{2xy}=-\dfrac{x}{y}$。兩者都是可分離的。

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   積分第一個分支 $y'=-y/x$。 分離變數，

   $\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}\;\Longrightarrow\;\ln|y|=-\ln|x|+c\;\Longrightarrow\;\ln|xy|=c,$

   所以 $xy=C_{1}$：一族直角雙曲線。

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   積分第二個分支 $y'=-x/y$。 分離變數，

   $y\,dy=-x\,dx\;\Longrightarrow\;\frac{y^{2}}{2}=-\frac{x^{2}}{2}+c\;\Longrightarrow\;x^{2}+y^{2}=C_{2}:$

   一族以原點為圓心的圓。

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   把兩族解都代回原方程式檢查。 對 $xy=C_1$ 有 $y'=-y/x$；代入得 $xy\frac{y^{2}}{x^{2}}-(x^{2}+y^{2})\frac{y}{x}+xy=\frac{y^{3}}{x}-xy-\frac{y^{3}}{x}+xy=0$。對 $x^{2}+y^{2}=C_2$ 有 $y'=-x/y$；代入得 $xy\frac{x^{2}}{y^{2}}-(x^{2}+y^{2})\frac{x}{y}+xy=\frac{x^{3}}{y}-\frac{x^{3}}{y}-xy+xy=0$。兩者都恆為零。從幾何上看，這兩族曲線並不正交：斜率 $-y/x$ 與 $-x/y$ 相乘得到 $+1$ 而不是 $-1$。它們是同一個二次式的兩個根，而且恰好在 $|x|=|y|$ 之處重合——那裡判別式為零、兩個分支合而為一，雙曲線與圓相切。（$xy=C$ 的正交軌跡是雙曲線族 $x^2-y^2=C$。）