求 1/(1 + n² ln n) 從 n = 1 到無限大之和的一個上界。

Step-by-step solution

1. 1

   把 $n=1$ 單獨處理。 因為 $\ln 1=0$，第一項是 $\dfrac{1}{1+0}=1$——這是整個級數裡最大的一項，而且任何牽涉 $\ln n$ 的比較都蓋不住它。把它拆出來：

   $S=1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{1+n^{2}\ln n}$

2. 2

   丟掉 $+1$ 把每一項放大。 當 $n\ge 2$ 時 $1+n^{2}\ln n>n^{2}\ln n>0$，分母變小分數就變大：

   $\frac{1}{1+n^{2}\ln n}<\frac{1}{n^{2}\ln n}$

   估界的論證裡每一個不等式都必須朝同一個方向推；這裡兩個都是。

3. 3

   把 $\ln n$ 換成它在這個範圍上的最小值。 當 $n\ge 2$ 時 $\ln n\ge\ln 2$，所以

   $\frac{1}{n^{2}\ln n}\le\frac{1}{n^{2}\ln 2}$

   這一步把一個帶對數權重的難纏級數換成單純的 $p$ 級數，代價是上界變鬆了一些。

4. 4

   把比較用的級數精確求和。 用巴塞爾問題的結果減去它的第一項，

   $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}-1\approx 0.644934$

5. 5

   把上界組起來。

   $S<1+\frac{1}{\ln 2}\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)=1+\frac{0.644934}{0.693147}=1.93044$

   這個級數收斂，而且它的和一定小於 $1.93044$。

6. 6

   評估這個上界有多緊。 把三百萬項加起來得到 $S\approx 1.4976$，所以上界高估了約 $0.43$。鬆散主要來自第三步：把 $\ln n$ 換成 $\ln 2$ 對大的 $n$ 太慷慨了，那裡的 $\ln n$ 大得多。若把和在 $n=10$ 處切開、之後改用 $\ln 10$，就會緊很多。