求 xz 在區域 −1 ≤ x ≤ 1、x² ≤ y ≤ 1、0 ≤ z ≤ y 上的三重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   從上下限讀出巢狀次序。 這些界限已經照 $dz\,dy\,dx$ 正確疊好：最內層的上下限（$0$ 到 $y$）可以含 $y$ 與 $x$，中間那層（$x^2$ 到 $1$）可以含 $x$，最外層則必須是常數。不需要重排。

2. 2

   對 z 積分。 這裡 $x$ 是常數：

   $\int_0^y xz\,dz = x\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^y = \frac{xy^2}{2}$

3. 3

   對 y 從 x² 積到 1。 現在 $x/2$ 是常數：

   $\int_{x^2}^{1} \frac{xy^2}{2}\,dy = \frac{x}{2}\left[\frac{y^3}{3}\right]_{x^2}^{1} = \frac{x}{6}\left(1 - x^6\right)$

   注意 $(x^2)^3 = x^6$，不是 $x^5$ ——次方再取次方時，指數是相乘的。

4. 4

   積分之前，先看剩下的被積函數的奇偶性。

   $\frac{x(1 - x^6)}{6} = \frac{x - x^7}{6}$

   $x$ 與 $x^7$ 都是奇函數，所以整個被積函數是奇的：$f(-x) = -f(x)$。

5. 5

   利用區間的對稱性。 最外層的區間 $[-1, 1]$ 對 $0$ 對稱，而任何奇函數在這種區間上的積分都是零：

   $\frac{1}{6}\int_{-1}^{1}(x - x^7)\,dx = 0$

   幾何上的原因在題目設定裡就看得到：立體區域在 $x \mapsto -x$ 之下對稱（界限 $x^2 \le y \le 1$ 與 $0 \le z \le y$ 都不變），而被積函數 $xz$ 會變號，所以貢獻兩兩抵銷。

6. 6

   驗證。 逐項直接計算得 $\int_{-1}^{1} x\,dx = 0$ 與 $\int_{-1}^{1} x^7\,dx = 0$。數值三重積分回傳 $-5 \times 10^{-20}$，也就是機器精度下的零。在最外層就看出對稱性，可以省下整個計算——但前提是你先確認過區域真的對稱。