用對數微分法求 y = (sin x)^(cos x) 的導數。

Step-by-step solution

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   先看清楚為什麼一般法則行不通。 冪函數法則 $\frac{d}{dx}u^n = nu^{n-1}u'$ 要求指數是常數，而指數函數法則 $\frac{d}{dx}a^u = a^u \ln a \cdot u'$ 要求底數是常數。這裡底數與指數都在變動，兩者都用不上，對數微分法才是正確的工具。

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   兩邊取自然對數。 取對數會把指數變成乘法因子：

   $\ln y = \cos x \cdot \ln(\sin x)$

   這在 $\sin x > 0$ 的區間上成立，例如 $0 < x < \pi$，而這也正是原式對任意實數指數有定義的範圍。

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   兩邊作隱函數微分。 左邊由連鎖律得 $\dfrac{y'}{y}$。右邊對 $\cos x$ 與 $\ln(\sin x)$ 用乘積律：

   $\frac{y'}{y} = (-\sin x)\ln(\sin x) + \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

   由連鎖律，$\ln(\sin x)$ 的導數是 $\dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x$——這一項最常被漏掉。

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   整理右邊。

   $\frac{y'}{y} = \frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln(\sin x)$

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   乘回 $y$。 把 $y$ 換回原本的式子——把答案停在含 $y$ 的形式是不完整的：

   $y' = (\sin x)^{\cos x}\left(\frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln(\sin x)\right)$

   等價地，$y' = (\sin x)^{\cos x}\bigl(\cos x \cot x - \sin x \ln \sin x\bigr)$。

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   在方便的點上驗算。 取 $x = \tfrac{\pi}{4}$：$\sin x = \cos x = \tfrac{\sqrt2}{2} = 0.707107$，所以 $(\sin x)^{\cos x} = 0.707107^{0.707107} = 0.782654$。括號內是 $\dfrac{0.5}{0.707107} - 0.707107\ln(0.707107) = 0.707107 + 0.245064 = 0.952171$。兩者相乘得 $0.745221$。符號微分的結果在 $\tfrac{\pi}{4}$ 求值同樣得到 $0.745221$——上面手算數字之間的微小落差只是四捨五入；多帶幾位（$0.7826540 \times 0.9521713$）就重現出 $0.7452207$ ✓。