求 0.4 乘 e 的 −s 次方，加 0.2 乘 e 的 −2s 次方，再加 0.4 乘 e 的 −3s 次方的拉普拉斯逆轉換。

Step-by-step solution

1. 1

   先看指數的符號。 拉普拉斯域裡的函數帶的是 $e^{-as}$，其中 $a > 0$；而因子 $e^{+as}$ 描述的是時間上倒退的平移，它不是任何因果函數的轉換。所以寫成 $e^{s}$、$e^{2s}$、$e^{3s}$ 的式子，必須先理解成 $e^{-s}$、$e^{-2s}$、$e^{-3s}$，才談得上求逆轉換。

2. 2

   注意指數後面並沒有跟著一個 F(s)。 第二位移定理說

   $\mathcal{L}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\} = u(t-a)\,f(t-a)$

   這裡每個指數都是孤零零的，也就是 $F(s) = 1$。而 $1$ 的逆轉換不是普通函數——它是狄拉克 δ 函數 $\delta(t)$，因為 $\mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1$。

3. 3

   對每一項套用 δ 的平移法則。 把上面兩點合起來：

   $\mathcal{L}^{-1}\left\{e^{-as}\right\} = \delta(t - a)$

   於是這三項分別對應 $t = 1$、$t = 2$、$t = 3$ 處的三個脈衝。

4. 4

   用線性性質把答案拼起來。 逆轉換是線性的，所以係數原封不動地保留：

   $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{2}{5}\delta(t-1) + \frac{1}{5}\delta(t-2) + \frac{2}{5}\delta(t-3)$

   這就是強度分別為 $0.4$、$0.2$、$0.4$ 的三個脈衝所組成的脈衝列。

5. 5

   正轉換回去檢驗。 對每個脈衝用 $\int_0^\infty \delta(t-a)e^{-st}\,dt = e^{-as}$，正好還原出 $\tfrac25 e^{-s} + \tfrac15 e^{-2s} + \tfrac25 e^{-3s}$。另外注意係數之和 $\tfrac25 + \tfrac15 + \tfrac25 = 1$，所以總脈衝強度是 $1$——與單個 $\delta(t)$ 的總面積相同，只是分攤到了三個時刻。