解微分方程式 dy/dx = 6 - y/2。

Step-by-step solution

1. 1

   把它寫成標準的線性形式。 把 $y$ 那一項移到左邊：

   $\frac{dy}{dx}+\frac12 y=6$

   這符合 $y'+p(x)y=q(x)$，其中常數 $p=\frac12$ 與 $q=6$，所以積分因子法可以直接套用。

2. 2

   先找出平衡解——它會預告答案。 常數解需要 $\frac{dy}{dx}=0$，也就是 $6-\frac{y}{2}=0$，所以 $y=12$。那個常數函數確實是一個解，而由於在原本的形式裡 $y$ 的係數是負的，各個解應該會衰減趨向 $12$。可以預期答案會長成 $12$ 加上一個衰減項。

3. 3

   造出積分因子。

   $\mu(x)=e^{\int \frac12\,dx}=e^{x/2}$

4. 4

   兩邊同乘，並認出乘積的導數。

   $e^{x/2}\frac{dy}{dx}+\frac12 e^{x/2}y=6e^{x/2}\;\Longrightarrow\;\frac{d}{dx}\left(ye^{x/2}\right)=6e^{x/2}$

   把左邊塌縮成單一個導數，正是這個因子 $e^{x/2}$ 的全部用意。

5. 5

   積分並解出 $y$。 由於 $\int 6e^{x/2}\,dx=12e^{x/2}+C$，

   $ye^{x/2}=12e^{x/2}+C\;\Longrightarrow\;y=12+Ce^{-x/2}$

   分離變數法會給出同一族解，其中 $C$ 吸收了積分常數。

6. 6

   驗證並讀出它的行為。 微分得 $y'=-\frac{C}{2}e^{-x/2}$，而右邊是

   $6-\frac{y}{2}=6-6-\frac{C}{2}e^{-x/2}=-\frac{C}{2}e^{-x/2}$

   兩者對每個 $C$ 都相符。當 $x\to\infty$ 時指數消亡，$y\to 12$ 而與初始值無關，所以 $y=12$（也就是 $C=0$ 的情形）是穩定的平衡解。