計算 1/(a+b) 乘以 θ 從 0 到 arctan(b/a) 的積分，其內層是 r² dr 從 0 到 a/cos θ 的積分。

Step-by-step solution

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   先看清積分區域。 外層上限 $r=\dfrac{a}{\cos\theta}$ 正是鉛直線 $x=a$ 的極座標方程式，而 $\theta$ 從 $0$ 變到 $\arctan(b/a)$。所以掃過的區域是以 $(0,0)$、$(a,0)$、$(a,b)$ 為頂點的直角三角形——知道這一點，那些積分上下限才不再是憑空冒出來的。

2. 2

   先算對 $r$ 的內層積分。

   $\int_{0}^{a/\cos\theta}r^{2}\,dr=\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{a/\cos\theta}=\frac{a^{3}}{3\cos^{3}\theta}=\frac{a^{3}}{3}\sec^{3}\theta$

   正是上限的三次方，把一個簡單的冪函數問題變成了 sec³ 的問題。

3. 3

   回想 sec³ 的反導函數。 這是分部積分的標準結論：

   $\int\sec^{3}\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\left(\sec\theta\tan\theta+\ln\left|\sec\theta+\tan\theta\right|\right)+C$

   它是整個計算裡唯一沒辦法靠簡單代換完成的一環。

4. 4

   代上限求值。 記 $\theta_{0}=\arctan(b/a)$，由直角三角形的關係得

   $\tan\theta_{0}=\frac{b}{a},\qquad\sec\theta_{0}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}$

   於是 $\sec\theta_{0}\tan\theta_{0}=\dfrac{b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a^{2}}$，$\sec\theta_{0}+\tan\theta_{0}=\dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+b}{a}$。而在 $\theta=0$ 處，$\sec\theta\tan\theta$ 與 $\ln|\sec\theta+\tan\theta|=\ln1$ 都為零。

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   拼出閉式表達。 把常數 $\dfrac{a^{3}}{3}\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{1}{a+b}$ 合併：

   $\frac{a^{3}}{6(a+b)}\left(\frac{b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a^{2}}+\ln\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+b}{a}\right)$

   或者把第一項乘開：

   $\frac{ab\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{6(a+b)}+\frac{a^{3}}{6(a+b)}\ln\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+b}{a}$

6. 6

   取幾組參數做數值驗證。 用辛普森求積算 $\dfrac{a^{3}\sec^{3}\theta}{3(a+b)}$ 並與閉式對照：$(a,b)=(1,1)$ 時兩邊都是 $0.1912989291$；$(2,3)$ 時都是 $1.0397137797$；$(0.7,1.9)$ 時都是 $0.2105370143$ ✓——每組的吻合程度都優於 $10^{-8}$。