計算 x² · sin(x) 從 x = 0 到 x = 2 的積分。

Step-by-step solution

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   用兩次分部積分求反導函數。 取 $u=x^{2}$、$dv=\sin x\,dx$ 得到 $-x^{2}\cos x+\int 2x\cos x\,dx$；第二次取 $u=x$、$dv=\cos x\,dx$ 得到 $\int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x$。合起來：

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$

   反導函數與上下限無關，所以值得推導一次之後反覆使用。

2. 2

   留意上下限 $0$ 與 $2$ 帶來的差別。 這裡的 $2$ 是一個單純的弧度數，不是 $\pi$ 的倍數，所以 $\sin 2$ 與 $\cos 2$ 不會化成 $0$ 或 $\pm1$。因此精確答案會同時含有這兩者，而太早把它們四捨五入正是主要的風險。

3. 3

   代入上限 $x=2$。

   $-4\cos 2+4\sin 2+2\cos 2=4\sin 2-2\cos 2$

   兩個餘弦項部分抵消：$-4\cos 2+2\cos 2=-2\cos 2$。

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   代入下限 $x=0$。

   $-0\cdot\cos 0+0\cdot\sin 0+2\cos 0=2$

5. 5

   相減得到精確值。

   $\int_{0}^{2}x^{2}\sin x\,dx=4\sin 2-2\cos 2-2$

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   換成小數並檢查正負號。 取 $\sin 2=0.909297$、$\cos 2=-0.416147$：

   $4(0.909297)-2(-0.416147)-2=3.637190+0.832294-2=2.469483$

   辛普森法給出 $2.4694834$ ✓。結果是正的，因為在整個 $[0,2]$ 上 $\sin x>0$（畢竟 $2<\pi$）。