求 x²·e^(−x²) 對 x 的不定積分。

Step-by-step solution

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   把 $x^{2}$ 拆開，讓其中一個 $x$ 跟著指數函數走。 因子 $xe^{-x^{2}}$ 有初等的反導函數（內層導數是 $-2x$），而單獨的 $e^{-x^{2}}$ 沒有。所以取

   $u=x,\qquad dv=xe^{-x^{2}}\,dx.$

   若反過來取 $dv=e^{-x^{2}}dx$，立刻就卡住了——怎麼配對正是這道題的全部訣竅。

2. 2

   用代換求 $v$。 令 $t=-x^{2}$，則 $dt=-2x\,dx$：

   $v=\int xe^{-x^{2}}dx=-\frac12\int e^{t}\,dt=-\frac12 e^{-x^{2}}.$

   另外 $du=dx$。式子裡的 $-\tfrac12$ 來自代換時的 $\frac{1}{-2}$，必須一路帶下去。

3. 3

   做分部積分。 用 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$：

   $\int x^{2}e^{-x^{2}}dx=x\left(-\frac12 e^{-x^{2}}\right)-\int\left(-\frac12 e^{-x^{2}}\right)dx=-\frac{x}{2}e^{-x^{2}}+\frac12\int e^{-x^{2}}dx.$

   剩下的正是高斯積分——比一開始的式子簡單，這說明配對選對了。

4. 4

   用誤差函數來表示高斯積分。 $\int e^{-x^{2}}dx$ 沒有初等的反導函數。誤差函數的定義恰恰就是為它取個名字：

   $\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt\;\Longrightarrow\;\int e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x)+C.$

5. 5

   拼出結果並驗算。 代回去得

   $\int x^{2}e^{-x^{2}}dx=-\frac{x}{2}e^{-x^{2}}+\frac{\sqrt{\pi}}{4}\operatorname{erf}(x)+C.$

   求導：$-\tfrac12 e^{-x^{2}}+x^{2}e^{-x^{2}}+\tfrac{\sqrt{\pi}}{4}\cdot\tfrac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^{2}}=x^{2}e^{-x^{2}}$ ✓——兩個半項恰好抵消。在 $x=0.9$ 處作數值檢驗，兩邊都給出 $0.3603350$ ✓。附帶一提，由於 $\operatorname{erf}(\infty)=1$ 而第一項趨於零，可得 $\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-x^{2}}dx=\tfrac{\sqrt{\pi}}{4}$。