求 y = 3sin(4x³ + 5)·√(5(4x + 5/x)) 的導數。

Step-by-step solution

1. 1

   先替兩個因式命名，讓乘法律浮現出來。 這個函數是乘積，不是單一的合成，所以從 $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$ 出發，取 $u=3\sin(4x^3+5),\qquad v=\sqrt{5\left(4x+\frac5x\right)}.$ 每個因式本身又是合成函數，所以這兩個導數都還要再用一次連鎖律。

2. 2

   用連鎖律對正弦因式微分。 內層函數為 $f(x)=4x^3+5$，其導數 $f^{\prime}(x)=12x^2$，因此 $u^{\prime}=3\cos(4x^3+5)\cdot 12x^2=36x^2\cos(4x^3+5).$

3. 3

   對根號因式微分。 寫成 $v=g(x)^{1/2}$，其中 $g(x)=5\left(4x+\frac5x\right)=20x+\frac{25}{x}$。於是 $g^{\prime}(x)=20-\frac{25}{x^2}$，再由 $\left(g^{1/2}\right)^{\prime}=\frac{g^{\prime}}{2\sqrt{g}}$ 得到 $v^{\prime}=\frac{20-\frac{25}{x^2}}{2\sqrt{5\left(4x+\frac5x\right)}}.$

4. 4

   用乘法律組合起來。 把這四塊代進 $y^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$，得到 $y^{\prime}=36x^2\cos(4x^3+5)\sqrt{5\left(4x+\frac5x\right)}+\frac{3\sin(4x^3+5)\left(20-\frac{25}{x^2}\right)}{2\sqrt{5\left(4x+\frac5x\right)}}.$

5. 5

   注意答案的成立範圍。 $5/x$ 這一項需要 $x\ne 0$，而根號需要 $5\left(4x+\frac5x\right)\ge 0$，這對每個 $x>0$ 都成立，但在負半軸的一部分不成立。若根號內為零，這個根式會落在分母上，所以導數在那裡同樣不存在。