計算 -pi/4 到 3pi/4 上 1 除以 (3 cos 三次方 x + sin 2x + sin 平方 x) 的積分。

Step-by-step solution

1. 1

   在嘗試任何代換之前，先檢查分母有沒有零點。 寫 $D(x) = 3\cos^3x+\sin 2x+\sin^2x$。只要 $D$ 在區間內部為零，任何半角（Weierstrass）代換都毫無價值，因為此時這個積分根本不存在。

2. 2

   在兩個端點與中間幾個點求出 D 的值。 $D\!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right) = \tfrac{3\sqrt2}{4}-\tfrac12 \approx 0.5607>0$；$D(0)=3>0$；$D\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 0+0+1 = 1>0$；但 $D\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) = -\tfrac{3\sqrt2}{4}-\tfrac12 \approx -1.5607<0$。

3. 3

   套用中間值定理。 $D$ 連續，而且在 $\tfrac{\pi}{2}$ 與 $\tfrac{3\pi}{4}$ 之間變號，所以在那個範圍內存在 $c$ 使 $D(c)=0$。數值上這唯一的零點落在 $c \approx 1.9569768.$ 因此被積函數 $\tfrac{1}{D(x)}$ 在積分區間的內部有一個無窮不連續點。

4. 4

   確認這個零點是單零點。 $D'(c) \approx -3.3131 \neq 0$，所以在 $c$ 附近泰勒展開給出 $D(x) \approx D'(c)(x-c)$，因而 $\frac{1}{D(x)} \approx \frac{1}{D'(c)}\cdot\frac{1}{x-c}.$ 是單零點而不是二重零點，這對收斂而言是最糟的情況。

5. 5

   與模型積分 1/(x − c) 做比較。 $\displaystyle\int\frac{dx}{x-c} = \ln|x-c|$，當 $x\to c$ 時它趨於 $-\infty$。兩側的瑕積分都發散，而且分別發散到 $-\infty$ 與 $+\infty$，所以沒有任何主值相消能救回這個普通的積分。

6. 6

   作結。 積分 $\int_{-\pi/4}^{3\pi/4}\frac{dx}{3\cos^3x+\sin 2x+\sin^2x}$ 發散；它沒有有限值。只有在 $x=c$ 處取柯西主值才會是有限的，而若題目要的正是主值，就必須明確寫出來。