求下列各極限的值：x 趨近 1 時 25 的極限、x 趨近 10 時 3x² 的極限、x 趨近 3 時 2x⁴ − x² 的極限、x 趨近 1 時 (x³ + 2)⁶ 的極限，以及 x 趨近 3 時 |−15x + 4| 的極限。

Step-by-step solution

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   動手之前先檢查連續性。 直接代入之所以成立，正是因為函數在目標點連續。多項式處處連續，多項式的絕對值也處處連續，常數更是理所當然地連續——所以這五個極限全都只是函數值。這裡沒有 $0/0$ 需要處理。

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   第 1 個極限：常數函數。 $f(x) = 25$ 從來不變，所以讓 $x = 1$ 靠近也不會改變什麼：

   $\lim_{x\to 1} 25 = 25$

   極限記號裡出現 $x$，並不代表函數裡也有 $x$。

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   第 2、3 個極限：多項式。 代入後仔細計算，特別注意指數：

   $\lim_{x\to 10} 3x^2 = 3(10)^2 = 3(100) = 300$

   $\lim_{x\to 3} (2x^4 - x^2) = 2(81) - 9 = 162 - 9 = 153$

   注意 $3(10)^2 = 300$，不是 $(3\cdot 10)^2 = 900$ ——係數不參與平方。

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   第 4 個極限：多項式的乘冪。 先算括號內，再取次方：

   $\lim_{x\to 1} (x^3+2)^6 = (1+2)^6 = 3^6 = 729$

   這裡用到極限的合成律，之所以成立是因為外層函數 $u^6$ 連續。

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   第 5 個極限：絕對值。 先算絕對值裡面，再取絕對值：

   $\lim_{x\to 3} |-15x+4| = |-45+4| = |-41| = 41$

   結果是 $+41$：絕對值永遠不會是負的。絕對值函數帶有尖角，但尖角並不破壞連續性，所以代入依然合法——何況這個尖角位在 $x = \tfrac{4}{15}$，離 $x = 3$ 遠得很。

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   匯整並驗證。 五個值分別是 $25$、$300$、$153$、$729$ 與 $41$。每一個都用符號運算的極限引擎再確認過，也都等於目標點上單純的函數值——這正是連續性所保證的。