設 A = x i + y j − z k、B = 3x i + 2y j + z k。求 A 叉乘 B 先對 y 再對 x 的混合二階偏導數，並在點 (1, 2, 1) 求值。

Step-by-step solution

1. 1

   先做外積，再微分。 逐分量微分外積必須先有分量才行，所以先把行列式算出來：

   $\vec A\times\vec B=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ x&y&-z\\ 3x&2y&z\end{vmatrix}$

   另一條路 —— 用乘積律 $\partial_x(\vec A\times\vec B)=\partial_x\vec A\times\vec B+\vec A\times\partial_x\vec B$ —— 也成立，但在這裡比較冗長。

2. 2

   逐個分量展開行列式。

   $\mathbf i:\ (y)(z)-(-z)(2y)=yz+2yz=3yz$
   $\mathbf j:\ -\big[(x)(z)-(-z)(3x)\big]=-\big[xz+3xz\big]=-4xz$
   $\mathbf k:\ (x)(2y)-(y)(3x)=2xy-3xy=-xy$

   所以

   $\vec A\times\vec B=3yz\,\mathbf i-4xz\,\mathbf j-xy\,\mathbf k$

   $\mathbf j$ 項前面那個變號是餘因子展開的一部分，也是最常出錯的地方。

3. 3

   對 $x$ 微分，把 $y$ 與 $z$ 視為常數。

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(3yz\,\mathbf i-4xz\,\mathbf j-xy\,\mathbf k\right)=0\,\mathbf i-4z\,\mathbf j-y\,\mathbf k$

   $\mathbf i$ 分量裡完全沒有 $x$，所以立刻歸零。

4. 4

   再把結果對 $y$ 微分。

   $\frac{\partial}{\partial y}\left(-4z\,\mathbf j-y\,\mathbf k\right)=0\,\mathbf j-1\,\mathbf k=-\mathbf k$

   活下來的每一項都是一次的，所以二階導數是一個常向量：答案在每一點都是 $-\mathbf k$，包括 $(1,2,1)$。那個點的座標從頭到尾都沒用到 —— 值得在答案裡明講。

5. 5

   用克萊羅定理交換順序來檢查。 先對 $y$ 微分得 $3z\,\mathbf i-x\,\mathbf k$，再對 $x$ 微分得 $-\mathbf k$。兩種順序一致，對多項式（因而光滑）的向量場來說本來就該如此。