對 y = f(x) = x³，求 x 從 3 變到 5 時 y 相對於 x 的平均變化率。

Step-by-step solution

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   先寫下定義。 $f$ 在 $[a,b]$ 上的平均變化率是 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$——它是通過 $(a,f(a))$ 與 $(b,f(b))$ 這條割線的斜率，而不是某一點上的導數。

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   算出兩個端點的函數值。 $f(5)=5^3=125$，而 $f(3)=3^3=27$。

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   求出 $y$ 的變化量。 $\Delta y=125-27=98$。

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   求出 $x$ 的變化量。 $\Delta x=5-3=2$。

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   相除。 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{98}{2}=49$，也就是在這個區間上，$x$ 每增加一單位，$y$ 平均上升 $49$ 個單位。

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   和瞬時變化率比較一下。 因為 $f'(x)=3x^2$，在 $x=3$ 時斜率是 $27$，在 $x=5$ 時是 $75$；平均值 $49$ 落在兩者之間，正好符合均值定理的要求。