求從 n = 1 到無窮大的級數 Σ (−1)ⁿ (1/n − 1/(n+2)) xⁿ 的收斂區間。

Step-by-step solution

1. 1

   先把係數通分成一個分數。 取公分母 $n(n+2)$：

   $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}=\frac{(n+2)-n}{n(n+2)}=\frac{2}{n(n+2)}$

   對 $n$ 一直取到 $59$ 都精確驗證過 ✓。寫成這個形式，衰減速度一目了然，而原來的差式把它藏了起來。

2. 2

   把符號併進變數裡。 因為 $(-1)^{n}x^{n}=(-x)^{n}$，級數就是

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n(n+2)}(-x)^{n}$

   這是關於 $-x$ 的冪級數，係數全為正——分析起來更簡單，而且關於 $x$ 的區間本來就是對稱的。

3. 3

   用比值審斂法求收斂半徑。 取 $c_{n}=\dfrac{2}{n(n+2)}$，

   $\left|\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right|=\frac{n(n+2)}{(n+1)(n+3)}\longrightarrow1$

   （數值上 $n=10$ 時為 $0.8392$，$n=100$ 時為 $0.98049$，$n=1000$ 時為 $0.998005$ ✓）。所以收斂半徑 $R=1$：當 $|x|<1$ 時收斂，$|x|>1$ 時發散。兩個端點需要單獨討論。

4. 4

   檢驗 $x=1$。 此時一般項變成 $\dfrac{2(-1)^{n}}{n(n+2)}$，而

   $\frac{2}{n(n+2)}\sim\frac{2}{n^{2}}$

   與收斂的 $p$ 級數 $\sum n^{-2}$（$p=2>1$）作比較，可知級數絕對收斂 ✓。

5. 5

   檢驗 $x=-1$。 此時 $(-x)^{n}=1$，級數變成可伸縮相消的正項級數

   $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)=1+\frac12=\frac32$

   因為中間各項兩兩抵消，且 $\tfrac{1}{n+1}+\tfrac{1}{n+2}\to0$。取到 $n=19999$ 的部分和為 $1.49990$ ✓，確認收斂到 $\tfrac32$。

6. 6

   寫出區間。 兩個端點都收斂，所以

   $[-1,1]$

   就是收斂區間——是個閉區間，這要歸功於係數按 $1/n^{2}$ 的量級衰減。如果係數只按 $1/n$ 衰減，得到的就會是半開區間了。