對 y = 8x⁵ − 3x⁻⁴ + 4/x − 9 微分。

Step-by-step solution

1. 1

   把四項全部寫成 $cx^n$ 的形式。 只有第三項需要處理：

   $\frac4x=4x^{-1}$

   於是 $y=8x^5-3x^{-4}+4x^{-1}-9$。事先做好這個轉換，整個函數就能用同一條法則處理完。

2. 2

   微分領導項。

   $\frac{d}{dx}\left(8x^5\right)=8\cdot 5x^4=40x^4$

   指數 $5$ 變成因子，並降到 $4$。

3. 3

   微分 $-3x^{-4}$。

   $\frac{d}{dx}\left(-3x^{-4}\right)=-3\cdot(-4)x^{-4-1}=12x^{-5}$

   $-4$ 減一得到 $-5$：指數變得更負，這一步最常被反向做錯。

4. 4

   微分 $4x^{-1}$，並注意常數會消失。

   $\frac{d}{dx}\left(4x^{-1}\right)=-4x^{-2},\qquad \frac{d}{dx}(-9)=0$

   任何常數的導數都是零，因為水平線的斜率為零。

5. 5

   用正指數把答案組起來。

   $\frac{dy}{dx}=40x^4+\frac{12}{x^5}-\frac{4}{x^2}$

6. 6

   在 $x=1$ 檢查並注意定義域。 公式給出 $40+12-4=48$，與原函數在 $x=1$ 的數值差商相符。$y$ 與 $y'$ 在 $x=0$ 處都沒有定義，所以結果在 $x\neq 0$ 時成立。