設 f 為可微函數，f(3) = 5 且 f′(3) = 2。若 g 是 f 的反函數，求 g′(5)。

Step-by-step solution

1. 1

   從反函數的定義出發，而不是從半記得的公式出發。 依定義，$g$ 會把 $f$ 做的事還原，所以對定義域中的每個 $x$，

   $f\bigl(g(x)\bigr)=x.$

   其餘一切都是微分這個恆等式推出來的。

2. 2

   兩邊對 x 微分，左邊用連鎖律。 左邊是合成函數，右邊的導數是 $1$：

   $f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)=1\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=\frac{1}{f'\bigl(g(x)\bigr)}.$

3. 3

   代入之前先找出內層的值 g(5)。 這一步正是學生最常跳過的。因為 $f(3)=5$，兩邊同時作用 $g$ 就得到

   $g(5)=3.$

   所以 $f$ 的導數要在 $3$ 處讀，而不是在 $5$ 處。

4. 4

   把兩個已知的數代進去。

   $g'(5)=\frac{1}{f'(g(5))}=\frac{1}{f'(3)}=\frac{1}{2}.$

5. 5

   解讀這個結果。 $f$ 與 $g$ 的圖形對直線 $y=x$ 互為鏡射，而鏡射會把垂直增量與水平增量對調 —— 所以斜率變成倒數。一個在 $(3,5)$ 處以斜率 $2$ 上升的函數，其反函數就會在 $(5,3)$ 處以斜率 $\tfrac12$ 上升。