求 f(x) = x 從 0 到 4 的積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先認出該用哪一條規則。 被積函數 $x$ 就是冪次 $x^{1}$，所以用冪次法則 $\int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ 並取 $n=1$ 就搞定了——既不需要變數代換，也不需要分部積分。

2. 2

   寫下反導函數。

   $\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C$

   對定積分而言常數 $C$ 可以省略：它在上下限各出現一次，相減時會抵消。

3. 3

   套用微積分基本定理。 把反導函數在上限求值，再減去它在下限的值：

   $\int_{0}^{4}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4}=\frac{4^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{16}{2}-0=8$

4. 4

   從幾何上檢查結果。 在 $[0,4]$ 上 $y=x$ 的圖形是一條直線，所以它下方的區域是一個底為 $4$、高為 $4$ 的直角三角形：

   $\text{面積}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$

   幾何面積與用反導函數算出來的結果完全一致，對線性的被積函數而言，這是最有力的確認方式。

5. 5

   寫出答案。

   $\int_{0}^{4}x\,dx=8$